隨機變量的數字特征
第四章 隨機變量的數字特征

討論隨機變量數字特征的原因
（1） 在實際問題中，有的隨機變量的概率分布
難確定，有的不可能知道，而它的一些數字特征較易確定。
（2）實際應用中，人們更關心概率分布的數字特征。
（3）一些常用的重要分布，如二項分布、泊松
分布、指數分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數字特征，就能完全確定其具體的分布。

§4.1 數學期望
一、數學期望的概念
1.離散性隨機變量的數學期望
例4．1：大學一年級某班有32名同學，年齡情況如下：
年齡 17 18 19 20 21 22
人數 2 7 10 8 4 1
求該班同學的平均年齡。
解：
平均年齡=

把上式改寫為：

設X為從該班任選一名同學的年齡，其概率分布為
X 17 18 19 20 21 22
P 2/32 7/32 10/32 8/32 4/32 1/32



定義4.1：設離散型隨機變量X的分布列為：

x1 x2 x3 …. xk ….

p1 p2 p3 …. Pk ….

若 絕對收斂（即 ），則稱它為X的數學期望或均值（此時，也稱X的數學期望存在），記為E(X),即

若 發(fā)散，則稱X的數學期望不存在。
說明：
（1）隨機變量的數學期望是一個實數，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均；
（2） 要注意數學期望存在的條件： 絕對
收斂；
（3） 當X服從某一分布時，也稱某分布的數學
期望為EX 。

例4．2：設X服從參數為p的兩點分布，求EX
EX=p

例4．3：設XB(n,p)，求EX
EX=np

例4．4：設X服從參數為的泊松分布，求EX
EX=

2.連續(xù)型隨機變量的數學期望

定義4.2: 設連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為f(x).若積分 絕對收斂，（即 ），則稱它為X的數學期望或均值（此時，也稱X的數學期望存在），記為E(X),即
若 ，則稱X的數學期望不存在。

例4.5:設X服從U[a,b],求E(X)。
EX=
例4.6:設X服從參數為的指數分布，求EX
EX=

例4.7: ，求EX
EX=

下面分析書上P101---P104例。
例1 P101

例2 P101

例3 P102---103
解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一輛車到站，所以(i)8:00到車站的旅客在8:50前一定會上車，而(ii)8:20到車站的旅客則可以直到9:50才會上車。

例4 P103


3.隨機變量函數得數學期望
定理4.1:設隨機變量X的函數為Y =g(X)，
(1) 若離散型隨機變量X的分布律為
,k =1,2,… ， 絕對收斂，則Y的數學期望存在，且
(2) 若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為
f(x), Y =g(X)也是連續(xù)型隨機變量， 絕對收斂，則Y的數學期望存在，且


定理4.2:設二維隨機變量（X ,Y )的函數Z=g(x,y)
(1) 若二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律
為


且有 絕對收斂，則Z的數學期望存在，且

(2) 若二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密
度為 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是連續(xù)型隨機變量,并且 絕對收斂，則Z的數學期望存在，且


例5 P106

例6 P107

例7 P107

以下為第一版例。
例4.8:設XU0,，Y= ,求E(Y )。
例4.9:設（X,Y）的聯(lián)合分布律為

其中
求E(XY)。

二.數學期望的性質
性質1:若c為常數，則
E(c)=c。
性質2:若c為常數，隨機變量X 的數學期望存在，則:cX的數學期望存在，且E(cX)=cE(X)

性質3:若二維隨機變量(X,Y)的分量X,Y的數學期望都存在，則X+Y的數學期望存在，且
E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推論:若n維隨機變量（X1,X2,..., )的分量X1,X2,..., 的數學期望都存在，則X1 + X2 +...+ 的數學期望存在，且


性質4:若隨機變量X,Y相互獨立，它們的數學期望都存在，則X•Y的數學期望存在，且


推論:若隨機變量X1,X2,....,Xn相互獨立，它們的數學期望都存在，則X1X2…Xn的數學期望存在,且


性質5:若隨機變量只取非負值，又E(X)存在，則E(X)0。

若 對任何 ， 存在，則
。
特別地，若 為常數， 存在，則 。

例8 P109

例9 P110

第一版例

例4.14：設一批同類型的產品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n（假定n≤N-M）件，記這n件中所含次品數為X，求E（X）。

三.綜合性的例題（第一版）
例:設X的概率密度為
，
其中a,b為常數，且E（X）= 。求a,b的值。
注意：f(x)中有幾個未知數要建幾個方程來求之。

例: 射擊比賽規(guī)定：每位射手向目標獨立重復射擊四法子彈，全未中的0分，僅中一發(fā)得15分，恰中兩發(fā)得30分，恰中三發(fā)得55分，全中得100分。若某射手的命中率為0.6，求他得分的數學期望。


例:某水果商店，冬季每周購進一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位:kg)服從U[1000,2000]。購進的蘋果在一周內售出，1kg獲純利1.5元；一周內沒售出，1kg需付耗損、儲藏等費用0.3元。問一周應購進多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。


§4-2 方差
一.方差的概念
1、定義4.3:設 隨機變量X的數學期望為E(X),若E(X-E(X))2存在，則稱它為X的方差（此時，也稱X的方差存在），記為D(X)或Var(X),即
D(X)=E(X-E(X))2
稱D(X)的算術平方根 為X的標準差或均方差，記為 ，即

由數學期望的性質5知，若隨機變量X的方差D(X)存在，則D(X)0。簡言之，方差是一個非負實數。
當X服從某分布時，我們也稱某分布的方差為D(X)。

2、計算方差
（1）若X是離散型隨機變量，其分布律為pi=P(X=xi),i=1,2,...,且D(X)存在，則

（2）若X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),且D(X)存在，則


（第一版）
例1：設XB(1,p)，求D(X)
例2：設XN(,2)，求D(X)
例3：設XU[a,b]，求D(X)


(3)D(X)=E(X2)-(EX)2

證明：P112.

例1 P112
例2 P112

（第一版）
例4：設X()，求D(X)
例5：已知 ，求


二.方差的性質

性質1:若C為常數，則
D(C)=0
性質2:若C為常數,隨機變量X的方差存在，則CX的方差存在，且
D(CX)=C2D(X)

證明由自己完成

性質3:若隨機變量X,Y相互獨立，它們的方差都存在，則XY的方差也存在，且
D(XY)=D(X)+D(Y)
證明：P113

推論:若隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，它們的方差都存在，則X1+X2+...+Xn的方差存在，且


性質4:若隨機變量X的方差存在，對任意的常數CE(X),則
D(X)= E(X-C)2
即函數g(C)=E(X-C)2在C=E(X)處達到最小值D(X)。

性質5若D(X)存在，則D(X)=0的充要條件是:
P(X=E(X))=1

例3 P113

第一版例：
例6：X服從 B(n,p),求D(X).
例7：某種商品每件表面上的疵點數X服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點。若規(guī)定表面不超過一個疵點的為一等品，價值十元，表面疵點數大于1不多于4的為二等品，價值8元。某件表面疵點數是4個以上著為廢品，求產品價值的均值和方差。
已知
設產品價值為
取值
0 8 10
X (X>4) ( )
(X )
P( Y=k) P(X>4=
1-0.8088
-0.1898 P( )
=P( )-
P( )
=[1-P( )]
-[1-P( )]
=0.1898 P(X )
=1-
P(X )
=0.8088
元


例 ：設隨機變量X的方差D(X)存在,且D(X)0令 ,其中E(X)是X的數學期望，求 。



三．契比雪夫不等式(Chebyshev)
契比雪夫不等式：設隨機變量X的方差D(X)存在，則對任意的0，均有
P{X-E(X)} 
或等價地
P{X-E(X)}1-

例：P{X-E(X)3σ}0.8889
P{X-E(X)4σ}0.9375
解：P{X-E(X)3σ}1-
=1-
P{X-E(X)4σ}1-

Data;
A=8/9; put a=;
A=15/16; put a=;
Run;
A=0.8888888889
A=0.9375


§4.3 幾種生要隨機變量的數學期望與方差
P115
這部分結果很重要，要牢記。

P117， 關于正態(tài)隨機變量的三個重要數據：


=0.6826894921



=0.9544997361




=0.9973002039

SAS的兩種計算公式：

data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;

p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039


data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039

也可以驗證數據，即以 為中心，需要幾倍的標準差 距離所構成的區(qū)間，其區(qū)間內的概率為上述所示。
Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;

q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

data;
q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;
run;

q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

注意： 為中心，概率為90%,95%，98%，99%的區(qū)間，需要幾倍的標準差 距離。

Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
q1=1.644853627
q2=1.9599639845
q3=2.326347874
q3=2.5758293035

比如，
=0.95

=0.9

等的結論也是常用的。幾乎都成常識了。

書示附表1中列出了多種常用的隨機變量的數據期望和方差。


§4.4 協(xié)方差及相關系數

一.協(xié)方差與相關系數的概念
1.定義
定義4.4：設二維隨機變量(X,Y),它的分量的數學期望為E(X),E(Y)，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，則稱它為X,Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

2.計算
(1)用定義計算
若二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律 i,j=1,2,，且Cov(X,Y)存在,則
Cov(X,Y)=
若二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),且Cov(X,Y)存在，則

（2）、公式
在計算Cov(X,Y)時，除用定義外，有時用下述公式較方便：
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)


第一版例：不講。
例 :設(X,Y)在圓域 上服從均勻分布，判斷X,Y是否不相關。并求Cov(X,Y)。
例 :設(X,Y)的聯(lián)合分布律為

其中
求 Cov(X,Y),并討論X,Y的相關性。

說明：
(1)Cov(X,Y)能反映X與Y之間某種聯(lián)系的程度。
(2)Cov(X,Y)是有量綱的量，其值與(X,Y)的取值單位有關。

3.相關系數
定義4.5:若二維隨機變量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)0,D(Y)0,則稱 為X,Y的相關系數，記為XY,即
XY=
定義4.6：若XY=0則稱X,Y不相關；
若 稱X,Y正相關；
若 則稱X,Y負相關。

4.隨機變量X,Y獨立性與不相關的關系
(1)一般情況下，設 存在，若X,Y相互獨立,
則 ，即X,Y不相關。
反之，X,Y不相關,但X,Y不一定獨立。

如例 ：（書4.31）（X，Y）在 上均勻分布?？芍猉，Y 不相關，但X，Y不獨立。

(2)特別，對于二維正態(tài)分布(X,Y)服從

X,Y相互獨立 X,Y不相關。



二 協(xié)方差與相關系數的性質
1.性質
性質1:若X,Y的協(xié)方差Cov(X,Y)存在，則
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
性質2:若(X,Y)兩個分量的方差都存在，則
D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)
推論:若(X1,X2,,...Xn)各分量的方差都存在，則

性質3:設下述各式所出現(xiàn)的協(xié)方差都存在，則有
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)

Cov(X,X)=D(X)
Cov(a,X)=0 其中a為常數


例3(第一版)：設（X，Y）~ ，求
Cov(2X+Y, )

性質4:若 X,Y的相關系數 存在，則
(1) 1;
(2) =1的充要條件是：存在常數a,b 且a0,使得概率為1的有Y=aX+b, 即
P(Y=aX+b)=1
證法一見書P-120.

幾點說明:
(1) 由性質的證明可見： ，a>0 ，這時稱X與Y完全正相關； ，a<0,這時稱X與Y完全負相關。
完全正相關和完全負相關統(tǒng)稱為完全相關，當X與Y完全相關時,(X,Y)可能取的值概率為1的集中在一條直線上。
(2)相關系數 是用來刻畫X,Y 線性相關性程度的一個數量。當 越接近于1時，X與Y之間越近似有線性關系；當 較小時， X與Y之間不能認為有近似的線性關系。
(3) 當 時，X,Y不相關，X,Y之間沒有線
性關系。這時,X,Y之間的關系較復雜；可能X,Y相互獨立(如二維正態(tài)分布),可能(X,Y)在平面的某個區(qū)域內服從均勻分布(如例4.31)，可能X,Y之間有某種非線性的函數關系(如下面的例4.33)。

例1 P121

§4.5 矩、協(xié)方差矩陣

定義4.7:設二維隨機變量(X,Y),k,l為非負整數。
若E(Xk)存在，則稱它為X的k階原點矩,簡稱k階矩；
若E{[X-EX]k}, k=1,2,….存在，則稱它為X的k階中心矩。
若E(XkYl)存在，則稱它為X和Y的(k,l)階混合矩，記作m kl, 即mkl=E(XkYl)；
若E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]存在，則稱它為X和Y的(k,l)階混合中心矩，記作kl, 即kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]。
顯然，數學期望E(X)是X的一階矩，方差D(X)是X的二階中心矩,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的(1,1)階混合中心矩.

關于矩有下述結論：設k為正整數。
(1) 若E(Xk)存在，則對小于k的一切非負整數
l，E(Xl)存在.這由X1+Xk，即得
EXl1+EXk
(2) 原點矩與中心矩可相互表示。

協(xié)方差矩陣

P123—125.
略。

本章練習題
5,6,7,8,9,10,15(1),16,17,22,23,26,28.
隨機變量的數字特征